Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x

2

-lnx，g(x)=lnx-x．
（1）求f（x）在（1，

1

2

）處的切線方程；
（2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．
①討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
②若對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）求導，再計算f^′（1），即為切線的斜率，進而得出切線的方程；
（2）①先在函數(shù)h（x）的定義域內(nèi)對h（x）求導，根據(jù)h^′（x）=0的根的大小關系，再對a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
②不妨設x₁＜x₂，則問題“對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有

h(x1-h(x2))

x1-x2

＞-1，”?M（x）=h（x）+x在（0，+∞）上單調(diào)遞增?M^′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立．

解答：解：（1）∵f′(x)=x-

1

x

，∴f^′（1）=0．
∴f（x）在（1，

1

2

）處的切線方程為：y=

1

2

；
（2）①∵h（x）=f（x）+ag（x）=

1

2

x2-lnx+alnx-ax，（x＞0），a＞1．
∴h′(x)=x-a+

a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
1° 當a-1=1，即a=2時，h′(x)=

(x-1)2

x

≥0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
2°當a-1＜1時，又a＞1，即1＜a＜2時，
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，1）上，h^′（x）＜0；在區(qū)間（0，a-1）及（1，+∞）上，h^′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，1）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，a-1）及（1，+∞）上單調(diào)遞增．
3°當a-1＞1，即 a＞2時，同理可得h（x）在區(qū)間（1，a-1）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，1）及（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
②不妨設0＜x₁＜x₂，則

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．
令M（x）=h（x）+x=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx+x，
則M（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
于是M′(x)=x-a+1+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+(a-1)

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．
即R（x）=x²-（a-1）x+（a-1）≥0在（0，+∞）上恒成立．
∵a＞1，∴R（0）=a-1＞0，對稱軸

a-1

2

＞0．
因此必須要求△=（a-1）²-4（a-1）≤0，又a＞1，解得1＜a≤5．

點評：充分利用導數(shù)的幾何意義及解決函數(shù)的單調(diào)性和正確的進行轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．