Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的“理想距離”為：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|；若C（x，y）到點(diǎn)A（2，3）、B（8，8）的“理想距離”相等，其中實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足0≤x≤8、0≤y≤8，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)度之和是（　�。�

• A．3+5

  2

• B．

  15

  2

• C．10
• D．5

Answer 1

分析：利用新定義對(duì)x、y分類(lèi)討論即可得出．

解答：解：∵d（C，A）=|x-2|+|y-3|，d（C，B）=|x-8|+|y-8|，d（C，A）=d（C，B），
∴|x-2|+|y-3|=|x-8|+|y-8|，（*）
∵實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足0≤x≤8、0≤y≤8，則可以分以下4種情況：
①當(dāng)0≤x＜2，0≤y≤3時(shí)，（*）化為2-x+3-y=8-x+8-y，即11=0，矛盾，此種情況不可能；
②當(dāng)0≤x＜2，3＜y≤8時(shí)，（*）化為2-x+y-3=8-x+8-y，得到y(tǒng)=

17

2

＞8，此時(shí)矛盾，此種情況不可能；
③當(dāng)2≤x≤8，0≤y≤3時(shí)，（*）化為x-2+3-y=8-x+8-y，得到x=

15

2

，此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C（x，y）的軌跡的長(zhǎng)度為3；
④當(dāng)2≤x≤8，3＜y≤8時(shí)，（*）化為x-2+y-3=8-x+8-y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，點(diǎn)（2.5，8）；
令y=3，得x=7.5，點(diǎn)（7.5，3）．
此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C（x，y）的軌跡的長(zhǎng)度=

(7.5-2.5)2+(3-8)2

=5

2

．
綜上可知：所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)度之和是3+5

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：正確理解新定義、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．