Question

方程在區(qū)間[-2010，2012]所有根之和等于________．

Answer 1

4 020
分析：設(shè) f（x）=，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的和的問題．從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，在區(qū)間[2，2012]上，函數(shù)g（x） 共有1015個周期，因此和函數(shù)f（x）有2010個交點，因此在區(qū)間[-2010，0]上也有2010個交點．m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標(biāo)，則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標(biāo)，因為一共有2010對這樣的交點，故所有根之和等于2×2010=4020．
解答：設(shè) f（x）=，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的和的問題．
顯然，以上兩個函數(shù)都關(guān)于點（1，0）成中心對稱．
函數(shù)f（x）的值域為（-∞，0）∪（0，+∞），定義域為{x|x≠1}，
函數(shù)g（x） 的值域為[-2，2]，定義域為R，最小正周期為2．
在區(qū)間[0，2]上，兩個函數(shù)無交點，應(yīng)用介值定理，可以得到第一個交點x₀∈[2，]．
從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，相對應(yīng)的，在區(qū)間[-2010，0]上，
兩個函數(shù)有和區(qū)間[2，2012]上相同多的交點．
在區(qū)間[2，2012]上，函數(shù)g（x） 共有1005個周期，因此和函數(shù)f（x）有2010個交點，
因此在區(qū)間[-2010，0]上也有2010個交點，
且對每一個交點，相對于（1，0）中心對稱的點也是兩個函數(shù)的交點．
而每對這樣的交點之和為2，即若m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標(biāo)，則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標(biāo)，
因為一共有2010對這樣的交點．
所以，在區(qū)間[-2010，2012]上，兩個函數(shù)所有交點的橫坐標(biāo)的和為2010×2=4020．
點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．