Question

14．函數(shù)y=$\sqrt{2-（\frac{1}{2}）^{x}}$的定義域是[-1，+∞），值域是[0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 可以看出要使原函數(shù)有意義，需$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解該不等式即可得出該函數(shù)的定義域，值域可由$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$得出$2-（\frac{1}{2}）^{x}$的范圍，并且還要滿足$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$，這樣即可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：要使原函數(shù)有意義，則：$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$；
∴$（\frac{1}{2}）^{x}≤（\frac{1}{2}）^{-1}$；
∴x≥-1；
∴原函數(shù)的定義域為：[-1，+∞）；
$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$；
∴$-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$；
∴$0≤2-（\frac{1}{2}）^{x}＜2$；
∴$0≤y＜\sqrt{2}$；
∴原函數(shù)的值域為：[0，$\sqrt{2}$）．
故答案為：[-1，+∞），[0，$\sqrt{2}$）．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．