Question

6．設x∈R，記不超過x的最大整數為[x]，例如[2.34]=2，[-1.5]=-2，令{x}=x-[x]，則$\left\{{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}\right\}，[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}]，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$（　　）

• A． 是等差數列但不是等比數列
• B． 既是等差數列也是等比數列
• C． 是等比數列但不是等差數列
• D． 既不是等差數列也不是等比數列

Answer 1

分析 根據題意，計算可得$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$≈1.6，則有[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$]=1，{$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$}=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$-[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$]=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即可得$\left\{{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}\right\}，[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}]，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$的值，由等差數列和等比數列的定義分析可得答案．

解答 解：根據題意，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$≈1.6，
則[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$]=1，{$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$}=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$-[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$]=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則$\left\{{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}\right\}，[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}]，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
分析可得：（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）×（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=1²，$\left\{{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}\right\}，[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}]，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$成等比數列，
（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）+（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$≠2×1，$\left\{{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}\right\}，[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}]，\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$不成等差數列，
故選：C．

點評 本題考查等比、等差數列的判斷，注意理解{x}、[x]的意義及計算方法．