Question

10．記數(shù)列的前n項和為S_n，前n項積為T_n．
（1）對于等差數(shù)列：7，5，3，1，-1，-3，-5，-7，-9，-11…，請計算S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，S₆，S₇，S₈，并找出其中相等的項；
（2）在等差數(shù)列{a_n}中，如果存在相鄰兩項a_k，a_k+1，使得a_k+a_k+1=0（k∈N^*），猜想其前n項和S_n的一個正確的結論，使得（1）的結論成為其特例，并加以證明；
（3）類比（2）中的結論，對于等比數(shù)列{b_n}猜想一個正確的結論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）依次求解得出數(shù)值即可判斷．
（2）根據(jù)性質a_k+a_k+1=0=a₁+a_2k（k∈N^*），整體求解S_2k=$\frac{2k（{a}_{1}+{a}_{2k}）}{2}$證明．
（3）類比得出T_m=T_2k-m．m∈N*．a(chǎn)₁•a_2k=1，利用等比數(shù)列的性質整體代入證明．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列：7，5，3，1，-1，-3，-5，-7，-9，-11…，
∴S₁=7，S₂=12．S₃=15，S₄=16．S₅=15．S₆=12，S₇=7，S₈=0，
∴S₁=S₇，S₂=S₆，S₃=S₅，
（2）∵a_k+a_k+1=0=a₁+a_2k（k∈N^*），
∴S_2k=$\frac{2k（{a}_{1}+{a}_{2k}）}{2}$=0．
∴S₁=S_2k-1，S₂=S_2k-2，S₃=S_2k-3，
猜想S_m=S_2k-m．m∈N*
證明：∵a_m+1+a_m+2+…+a_2k-m=$\frac{（2k-2m）（{a}_{m+1}+{a}_{2k-m}）}{2}$=（k-m）（a₁+a_2k）=0．
∴S_2k-m-S_m=a_m+1+a_m+2+…+a_2k-m=0
∴S_m=S_2k-m．
（3）猜想T_m=T_2k-m．m∈N*．a(chǎn)₁•a_2k=1
$\frac{{T}_{2k-m}}{{T}_{m}}$=a_m+1•a_m+2…a_2k-m．
∵a₁•a_2k=a_m+1•a_2k-m=1（k∈N^*），
∴$\frac{{T}_{2k-m}}{{T}_{m}}$=1．．
∴T_m=T_2k-m．m∈N^*．a(chǎn)₁•a_2k=1

點評 本題綜合考察了等差等比數(shù)列的性質，前n項和的性質運算，猜想歸納類比的數(shù)學思想，屬于難題．