Question

設A，F分別是橢圓的左頂點與右焦點，若在其右準線上存在點P，使得線段PA的垂直平分線恰好經過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，橢圓上右準線上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等，根據|PF|的范圍求得|FA|的范圍，進而求得 的范圍即離心率e的范圍．
解答：解：由題意，橢圓上右準線上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|=a+c，如圖，
又|FH|=
|PF|＞|FH|，
于是a+c＞即ac+2c²＞a²，
∴2e²+e-1＞0，e＞，又e∈（0，1）
故e∈（，1）
故答案為：（，1）．
點評：本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質，以及橢圓的簡單性質的應用．屬于基礎題．