在數(shù)列{an}中，已知，，當n≥2且n∈N*時，有．
（1）若bn=an+1-an（n∈N*），求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求證：對任意n∈N*，都有．
【答案】分析：（1）根據(jù)題意在數(shù)列{an}中，已知，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，證明等于一個常數(shù)即可；
（2）數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，，可得對an進行拆分，可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，然后進行求和，再進行證明；
解答：解：（1）當n=1時，有…（1分）
當n≥2時，有=
故數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其首項為，公比為…（5分）
（2）由（1）知即…（6分）
故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=…（10分）
當n∈N*時，有，故，
故，即…（13分）
點評：此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題，第二問對an進行拆分求和，考查的知識點比較全面；
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項和，求使Sn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an的表達式；
（2）用適當?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項和為2011，則正整數(shù)k之值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項公式；
（3）對?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項公式an及其前n項和Sn．

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