Question

在數(shù)列{a_n}中，已知，，當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，有．
（1）若b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求證：對(duì)任意n∈N^*，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意在數(shù)列{a_n}中，已知，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，證明等于一個(gè)常數(shù)即可；
（2）數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，，可得對(duì)a_n進(jìn)行拆分，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，然后進(jìn)行求和，再進(jìn)行證明；
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，有=
故數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為…（5分）
（2）由（1）知即…（6分）
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=…（10分）
當(dāng)n∈N^*時(shí)，有，故，
故，即…（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題，第二問對(duì)a_n進(jìn)行拆分求和，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面；