Question

定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3，且f（1）=2，f（0）=1，則f（2009）=________．

Answer 1

2010
分析：利用兩個(gè)不等式，得到f（x+12）≥f（x）+12且f（x+12）≤f（x）+12通過(guò)兩邊夾的性質(zhì)得到得到f（x+12）=f（x）+12，注意等號(hào)成立的條件，利用周期性求出值即可．
解答：∵對(duì)任意的x都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3，
∴f（x+12）≤f（x+8）+4≤f（x+4）+8≤f（x）+12
f（x+12）≥f（x+9）+3≥f（x+6）+6≥f（x+3）+9≥f（x）+12
∴f（x+12）=f（x）+12當(dāng)且僅當(dāng)f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3取等號(hào)時(shí)取等號(hào)
即f（x+4）=f（x）+4
∴f（2009）=f（2005）+4=f（2001）+8=…=f（1）+502×4=2+2008=2010
故答案為：2010
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)求值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．