Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a+c=6①，b=2，cosB= ，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4，

整理得：ac=9②，

聯立①②解得：a=c=3；

（2）解：∵cosB= ，B為三角形的內角，

∴sinB= = ，

∵b=2，a=3，sinB= ，

∴由正弦定理得：sinA= = = ，

∵a=c，即A=C，∴A為銳角，

∴cosA= = ，

則sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × =

【解析】（1）利用余弦定理列出關系式，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯立即可求出a與c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．