Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（1）f'（x）=lnx+1，
當，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①，t無解；
②，即時，；
③，即時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴．
（2）2xlnx≥﹣x²+ax﹣3，則，
設，
則，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）_min=4；
（3）問題等價于證明，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，
當且僅當時取到設，
則，易得，
當且僅當x=1時取到，從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．