Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BD、BB₁的中點．

(I)求證：EF∥平面A₁B₁CD；

(Ⅱ)求證：EF上AD₁；   

(Ⅲ)求三棱錐D₁-AEF的體積．

Answer 1

解：(I)連結B₁D．在△BB₁D內(nèi)，E、F分別為BD、BB₁的中點，∴ EF∥B₁D．

又 ∵  B₁D在平面A₁B₁CD內(nèi)，EF               在平面A₁B₁CD外，

    ∴ EF∥平面A₁B₁CD．   

    (Ⅱ) ∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，

∴ AD₁⊥A₁D，AD₁⊥A₁B₁，∴ AD₁⊥平面A₁B₁D．∴ AD₁⊥B₁D

    又由上問知道，EF∥B₁D，∴ EF⊥ AD₁．   

    (Ⅲ)由上問知，EF⊥AD₁，又顯然EF⊥AE，∴ EF⊥平面AED₁．

    ∴ EF就是三棱錐F-AED₁的高．又∵AE⊥平面BB₁D₁D，∴ AE⊥D₁E

    ∴ 三棱錐F-AED₁的底面AED₁是直角三角形．  

    易求得

    ∴ 三棱錐D₁-AEF的體積