Question

如圖，四邊形ABCD是圓臺OO₁的軸截面，AB=2CD=4，點(diǎn)M在底面圓周上，且，DM⊥AC．
（I）求圓臺OO₁的體積；
（II）求二面角A-DM-O的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，可得OO₁、OM、OB兩兩互相垂直，故可以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線OM、OB、OO₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出圓臺的高OO₁=h值后，代入圓臺OO₁的體積公式即可得到答案．
（II）分別求出平面ADM、平面ODM的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-DM-O的余弦值．
解答：解：（I）由題意可得OO₁、OM、OB兩兩互相垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線OM、OB、OO₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系-----（2分）
設(shè)OO₁=h（h＞0），則D（0，-1，h），M（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，1，h）∴，w∵DM⊥AC∴
解得------（6分）∴圓臺OO₁的體積．------（7分）
（II），，
設(shè)平面ADM、平面ODM的法向量分別為，
則且 
即且 
取------（11分）∴．------（13分）
則二面角A-DM-O的余弦值為------（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，圓臺的體積，其中（I）的關(guān)鍵是求出圓臺的高，熟練掌握圓臺的體積公式，（II）的關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量．