Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。

（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在點(diǎn)E使得面D₁DE⊥面D₁EC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E到面ACD₁的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為？

Answer 1

解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AE =x， 則 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） （1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111017/201110170932343281576.gif"> 所以 即D1E⊥A1D。 （2）設(shè)平面D1EC的一個(gè)法向量為n1=（a，b，c） 則 令b=1，則c=2，a=2-x，n1=（2-x，1，2）， 再設(shè)平面D1DE的一個(gè)法向量為 則 令n=1，則m=-x，n2=（-x，1，0） 由面D1DE⊥面D1ECn1·n2=（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x2-2x+1=0 故x=1 故E為AB的中點(diǎn)時(shí)，有面D1DE⊥面D1EC 由于此時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，故E（1，1，0）， 設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量n3=（x，y，z），則 令x=2，則y=1，z=2，即n3=（2，1，2）， 故點(diǎn)E到面ACD1的距離為。 （3）由上述解答過程可知面D1EC的法向量為n=（2-x，1，2） 由題意， 故（不合題意，舍去） ∴當(dāng)時(shí)，二面角D1-EC-D的大小為。