Question

如圖，一架飛機原計劃從空中A處直飛相距680km的空中B處，為避開直飛途中的雷雨云層，飛機在A處沿與原飛行方向成θ角的方向飛行，在中途C處轉(zhuǎn)向與原方向線成45°角的方向直飛到達B處．已sinθ=

5

13

（1）在飛行路徑△ABC中，求tanC；
（2）求新的飛行路程比原路程多多少km．
（參考數(shù)據(jù)：

2

=1.414，

3

=1.732）

Answer 1

分析：（1）由θ角的正弦由平方關(guān)系得θ角余弦，進而得θ角正切，由三角形內(nèi)角和得角C與θ角的關(guān)系，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正切公式得tanC；
（2）由三角形內(nèi)角和得角C與θ角的關(guān)系，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式得sinC，由正弦定理得AC、BC的長度，進而得出要求的量．

解答：（1）sinθ=

5

13

，θ是銳角，所以tanθ=

5

12

（1分），
tanC=tan[π-（θ+45⁰）]=-tan（θ+45⁰）（2分），
=-

tanθ+tan450

1-tanθ•tan450

（4分），
=-

5 12 +1

1- 5 12 ×1

=-

17

7

（5分）．
（2）sinC=sin(θ+450)=

17 2

26

（7分），
由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sin450

=

BC

sinθ

（9分），
得AC=

AB

sinC

×sin450=520（11分），
BC=200

2

（13分），
新的飛行路程比原路程多AC+BC-AB=520+200

2

-680=122.8(km)（14分）．

點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，做這類是需要仔細觀察，要求的量與已知的量有什么樣的關(guān)系，一一破解；
本題用到的知識點有誘導(dǎo)公式，兩角和公式，正弦定理，正弦定理在解三角形時，用于下面兩種情況：一是知兩邊一對角，二是知兩角和一邊．