已知?jiǎng)狱c(diǎn)S過點(diǎn)T(0,2)且被x軸截得的弦CD長為4.
(1)求動(dòng)圓圓心S的軌跡E的方程;
(2)設(shè)P是直線l:y=x-2上任意一點(diǎn),過P作軌跡E的切線PA,PB,A,B是切點(diǎn),求證:直線AB恒過定點(diǎn)M;
(3)在(2)的條件下,過定點(diǎn)M作直線:y=x-2的垂線,垂足為N,求證:MN是∠ANB的平分線.
分析:(1)借助于圖象把已知條件轉(zhuǎn)化為|ST|2=22+|y|2,就可求出圓心S的軌跡E的方程;
(2)先求切線方程,轉(zhuǎn)化為x1,x2是方程t-2=
1
2
x t-
x
2
 
4
的兩根,從而得AB的方程,進(jìn)而求出定點(diǎn);
(3)若AN.BN的斜率均存在,分別為k1,k2,傾斜角為α,β,要證MN是∠ANB的平分線,只需要證k1k2=1,再說明斜率不存在時(shí)也成立即可.
解答:解:(1)由題意,設(shè)S(x,y),則ST|2=22+|y|2,即x2=4y,所以軌跡E的方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),所以可得切線PA:y-
x
2
1
4
=
1
2
x1(x-x1)
,即y=
1
2
x1x-
x
1
2
4

設(shè)P(t,t-2),P在PA上有t-2=
1
2
x1t-
x
2
1
4
,同理t-2=
1
2
x2t-
x
2
2
4

故x1,x2是方程t-2=
1
2
x t-
x
2
 
4
的兩根,從而有
x1+x2=2t
x1x2=4(t-2)
,∴AB的方程為:y=
t
2
(x-2)+2
,故恒過定點(diǎn)(2,2).
(3)過定點(diǎn)M作直線:y=x-2的垂線方程為x+y-4=0,從而垂足為N(3,1),MN的斜率為1,傾斜角為1350
若AN.BN的斜率均存在,分別為k1,k2,傾斜角為α,β,要證MN是∠ANB的平分線,只需要證k1k2=1
k1k2=
y1y2-(y1+y2)+1
x1x2-3(x1+x2)+9

設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-2)+2代入x2=4y得x2-4kx+8k-8=0,∴x1+x2=4k,x1x2=8k-8∴y1+y2=4k2-4k+4,y1y2=4k2-8k+4,代入k1k2=
y1y2-(y1+y2)+1
x1x2-3(x1+x2)+9
k1k2=
-4k+1
-4k+1

當(dāng)k≠
1
4
時(shí),k1k2=1,當(dāng)k=
1
4
時(shí),解得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,1),(3,
9
4
)
,此時(shí)AN,BN的斜率一個(gè)不存在,一個(gè)為0,從而MN是∠ANB的平分線.
點(diǎn)評(píng):本題涉及到求軌跡方程問題.在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí),一般是利用條件找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式,整理可得所求方程.
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1
4
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程;
(II )過定點(diǎn)T(-1,0)的動(dòng)直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)S(s,0),使得
SP
SQ
為定值,若存在求出s的值;若不存在請(qǐng)說明理由.

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