Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，，過點作函數(shù)圖象的所有切線，令各切點得橫坐標構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項之和的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）利用到導數(shù)法求解；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，用導數(shù)法求解；（Ⅲ）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，將的坐標代入切線方程，求得，再利用兩個函數(shù)的圖像均關(guān)于點對稱，它們交點的橫坐標也關(guān)于對稱成對出現(xiàn).方程，的根即所作的所有切線的切點橫坐標構(gòu)成的數(shù)列的項也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對.
試題解析：（Ⅰ）由于，
所以.           (2分)
當，即時，；
當，即時，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使總成立，只需時.
對求導得，
令，則，()
所以在上為增函數(shù)，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；
② 當時，在上有實根，因為在上為增函數(shù)，
所以當時，，所以，不符合題意；
③ 當時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.                    (9分)
（Ⅲ）因為，所以，
設(shè)切點坐標為，則斜率為，
切線方程為，              (11分)
將的坐標代入切線方程，得

，即，               
令，，則這兩個函數(shù)的圖像均關(guān)于點對稱，它們交點的橫坐標也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，方程，的根即所作的所有切線的切點橫坐標構(gòu)成的數(shù)列的項也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對，每對的和為，因此數(shù)列的所有項的和.                               (13分)