Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{a_n}前2013項(xiàng)中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第3k項(xiàng)刪去，求數(shù)列{a_n}前2013項(xiàng)中剩余項(xiàng)的和．

Answer 1

（Ⅰ）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2．…（1分）
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，…（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2¹-1=1；…（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1…（5分）
經(jīng)驗(yàn)證可知n=1時(shí)，也適合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，故其第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第2013項(xiàng)也為等比數(shù)列，首項(xiàng)a₃=2^3-1=4，公比q=2³，a₂₀₁₃=2²⁰¹²為其第671項(xiàng)…（8分）
∴此數(shù)列的和為

4(1-8671)

1-8

=

4(22013-1)

7

…（10分）
又?jǐn)?shù)列{a_n}的前2013項(xiàng)和為S₂₀₁₃=

1×(1-22013)

1-2

=2²⁰¹³-1，…（12分）
∴所求剩余項(xiàng)的和為（2²⁰¹³-1）-

4(22013-1)

7

=

3(22013-1)

7

…（13分）