Question

4．如圖，ABCD是邊長為a的正方形，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，$EB=2FD=\sqrt{2}a$．
（Ⅰ）求證：EF⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐E-FAC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，推導(dǎo)出AC⊥BD，AC⊥FD，從而AC⊥平面BDF．推導(dǎo)出EB∥FD，從而B，D，F(xiàn)，E四點共面，由此能證明EF⊥AC．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接EO，F(xiàn)O，由V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO，能求出三棱錐E-FAC的體積．

解答 證明：：（Ⅰ）連接BD，因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因為FD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥FD．
因為BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．
因為EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，所以EB∥FD．
所以B，D，F(xiàn)，E四點共面．
因為EF?平面BDFE，所以EF⊥AC．
解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接EO，F(xiàn)O．
由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，
所以AC⊥平面FEO．
因為平面FEO將三棱錐E-FAC分為兩個三棱錐A-FEO和C-FEO，
所以V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO．
因為正方形ABCD的邊長為a，$EB=2FD=\sqrt{2}a$，
所以$FO=\sqrt{F{D^2}+O{D^2}}=a$，$EO=\sqrt{E{B^2}+O{B^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．
取BE的中點G，連接DG，則FE=DG=$\sqrt{D{B^2}+B{G^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．
所以等腰三角形FEO的面積為${S_{△FEO}}=\frac{1}{2}a\sqrt{{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}a}）}^2}-{{（{\frac{1}{2}a}）}^2}}$=$\frac{3}{4}{a^2}$．
所以V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO=$\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×AO+\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×CO$=$\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}{a^2}×\sqrt{2}a$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$．
所以三棱錐E-FAC的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．