Question

如果有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，3，3，2，1 和數(shù)列1，2，3，4，3，2，1都為“對(duì)稱數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項(xiàng)，則數(shù)列{b_n}的前2009項(xiàng)和S₂₀₀₉所有可能為：①2²⁰⁰⁹-1  ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1  ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正確的有（　　）個(gè)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意由于新定義了對(duì)稱數(shù)列，且已知數(shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，故數(shù)列bn的前2009項(xiàng)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和定義直接可求①②的正確與否；對(duì)于③④，先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項(xiàng)的和，再利用減法得到需要的前2009項(xiàng)的和，即可判斷．

解答：解：因?yàn)閿?shù)列b_n是項(xiàng)數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，
所以分?jǐn)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論．
若數(shù)列含偶數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2008時(shí)，S₂₀₀₉=

1×(1-22009)

1-2

=2²⁰⁰⁹-1，所以①正確；
當(dāng)1004≤m-1＜2008時(shí)，S₂₀₀₉=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2009)

1-2

=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正確；
若數(shù)列含奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2008時(shí)，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當(dāng)1004≤m-1＜2008時(shí)，所以S₂₀₀₉=2

1×(1-2m-1)

1-2

+2^m-1-

1×(1-22m-1-2009)

1-2

=3•2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正確．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義對(duì)稱數(shù)列為切入點(diǎn)，運(yùn)用的知識(shí)都是數(shù)列的基本知識(shí)：等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，還體現(xiàn)了分類討論在解題中的應(yīng)用．