Question

已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b∈R,滿足:

(ab)= a(b)+b(a), (2)=2, an=(n∈N*), bn=(n∈N*).

考察下列結(jié)論: ①(0)= (1); ②(x)為偶函數(shù); ③數(shù)列{an}為等比數(shù)列; ④數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.其中正確的結(jié)論共有( 　)

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：令,再令,所以有(0)= (1)知①正確;令,從而令故知(x)為奇函數(shù),故知②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由于(2)=2,所以;從而,猜想…，成等比數(shù)列且,用數(shù)學(xué)歸納法可證明此結(jié)論:對(duì)于n=1時(shí)，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想正確，即，從而，那么當(dāng)時(shí)，

這就是說當(dāng)時(shí)猜想也成立，故，故③正確;對(duì)于④,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721210515507828/SYS201411172121072488820146_DA/SYS201411172121072488820146_DA.016.png">,所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,故④正確.由此可知①③④正確，故選C.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì);2.等差數(shù)列與等比數(shù)列.