Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+3是偶函數，且過點（-1，4），g（x）=x+4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數F（x）=f（2^x）+g（2^x+1） 的值域；
（Ⅲ）若f（x）≥g（mx+m）對x∈[2，6]恒成立，求實數m 的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據偶函數的定義，即f（-x）=f（x），從而求得b=0，再根據f（x）過點（-1，4），代入即可求得a的值，從而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據f（x）和g（x）的解析式，以及F（x）=f（2^x）+g（2^x+1），求出F（x）的解析式，利用換元法，令t=2^x，則將函數F（x）轉化為二次函數，利用二次函數的性質，即可求得F（x）的值域；
（Ⅲ）f（x）≥g（mx+m）對x∈[2，6]恒成立，即x²+3≥mx+m+4對x∈[2，6]恒成立，利用參變量分離的方法，將不等式轉化為m≤x-1對x∈[2，6]恒成立，即求x-1的最小值，從而得到實數m 的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=ax²+bx+3是偶函數，
∴f（-x）=f（x）對x∈R恒成立，即ax²-bx+3=ax²+bx+3對x∈R恒成立，
∴2bx=0對x∈R恒成立，
∴b=0，
∴f（x）=ax²+3，
∵二次函數f（x）圖象過點（-1，4），
∴f（-1）=a+3=4，解得a=1，
∴f（x）=x²+3；
（Ⅱ）∵f（x）=x²+3，g（x）=x+4，
∴F（x）=f（2^x）+g（2^x+1）=（2^x）²+3+2^x+1+4=（2^x）²+2•2^x+7，
設2^x=t，則t∈（0，+∞），
∴y=t²+2t+7=（t+1）²+6＞7，
∴函數F（x）=f（2^x）+g（2^x+1） 的值域為（7，+∞）；
（Ⅲ）∵f（x）=x²+3，g（x）=x+4，
∴f（x）≥g（mx+m）對x∈[2，6]恒成立，即x²+3≥mx+m+4對x∈[2，6]恒成立，
∴m（x+1）≤x²-1對x∈[2，6]恒成立，
∵2≤x≤6，則3≤x+1≤7，
∴m≤x-1對x∈[2，6]恒成立，即m≤（x-1）_min，
由∵x∈[2，6]，
∴1≤x-1≤5，
∴m≤（x-1）_min=1，
∴m≤1，
∴實數m 的取值范圍為m≤1．

點評：本題考查了求函數的解析式，函數的恒成立問題，函數的值域問題．求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．求函數的值域要注意考慮定義域的取值，再根據函數的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域．對于不等式的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．