Question

【題目】設(shè)f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…為自然對數(shù)的底數(shù)）上有解的最小a的值為an ， 數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 求證：Sn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，

當(dāng)x＞ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜ 時，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有x= 處取得極小值，也為最小值﹣

（2）解：存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），

即為a＜ 在（0，+∞）成立，

設(shè)h（x）= ，h′（x）= =﹣ ，

當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增．

即有x=1處取得極大值，也為最大值1，

則a＜1，即a的取值范圍是（﹣∞，1）

（3）證明：方程f（x）﹣g（x）=0，即為a= 在x∈[ ，en]上有解，

由（2）可得h（x）= 在（ ，1）遞增，在（1，en]遞減，

由 ＜en，可得x=en處取得最小值，且為（1+n）e﹣n，

前n項和為Sn=2e﹣1+3e﹣2+4e﹣3+…+（1+n）e﹣n，

eSn=2e0+3e﹣1+4e﹣2+…+（1+n）e1﹣n，

相減可得，（e﹣1）Sn=2+e﹣1+e﹣2+e﹣3+…+e1﹣n﹣（1+n）e﹣n

=1+ ﹣﹣（1+n）e﹣n

化簡可得Sn= ﹣ e﹣n（ +n+1）＜ ＜3．

故Sn＜3成立

【解析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到最小值；（2）由題意可得a＜ 在（0，+∞）成立，設(shè)h（x）= ，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，最大值，即可得到a的范圍；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即為a= 在x∈[ ，en]上有解，求得h（x）在x∈[ ，en]上的最小值，可得an=（1+n）e﹣n ， 由錯位相減法求得Sn ， 再由不等式的性質(zhì)即可得證．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．