Question

有一種新型的奇強洗衣液，特點是去污速度快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（分鐘）變化的函數關系式近似為y=k•f（x），其中f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

．若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次k個單位的洗衣液，2分鐘時水中洗衣液的濃度為3（克/升），求k的值？
（2）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？
（3）若第一次投放2個單位的洗衣液，10分鐘后再投放1個單位的洗衣液，在第12分
鐘時洗衣液是否還能起到有效去污的作用？能，請加以證明；不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由只投放一次k個單位的洗衣液，2分鐘時水中洗衣液的濃度為3（克/升），根據已知可得y=k•f（x）=3，代入可求出k值；
（2）由只投放一次4個單位的洗衣液，所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

，分0≤x≤4和4＜x≤14兩種情況分析討論去污時長，最后討論結果，可得答案．
（3）令x=12，求出此時y值，與4進行比較，若大于4，可得在第12分鐘時還能起到有效去污的作用．

解答：解：（1）f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

當2分鐘時水中洗衣液的濃度為3（克/升），
可得y=k•f（x）=3，
∵k(

24

8-2

-1)=3，
∴k=1；
（2）因為k=4，
所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

則當0≤x≤4時，
由

96

8-x

-4≥4，
解得x≥-4，
所以此時0≤x≤4
當4＜x≤14時，
由28-2x≥4，
解得x≤12，
所以此時4＜x≤12
綜合，得0≤x≤12，若一次投放4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達12分鐘
（3）當x=12時，y=2×(7-

1

2

×12)+1×(

24

8-(12-10)

-1)=5＞4，
∴在第12分鐘時還能起到有效去污的作用．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中正確理解水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效去污的作用，是解答本題的關鍵．