對于函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得對于區(qū)間D上的任意實數(shù)x都有f（x）≤g（x）成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）區(qū)間D上的一個“覆蓋函數(shù)”．設f（x）=-2xlnx-x2，g（x）=-ax+3．若g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的一個“覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
分析：由題意知f（x）≤g（x）即-2xlnx-x2≤-ax+3在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+
3
x
在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決．
解答：解：因為g（x）=-ax+3為函數(shù)f（x）=-2xlnx-x2 在區(qū)間（0，+∞）上的一個“覆蓋函數(shù)”，
所以 f（x）≤g（x）即-2xlnx-x2≤-ax+3在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+
3
x
在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=2lnx+x+
3
x
，則h′（x）=
2
x
+1-
3
x2
=
(x+3)(x-1)
x2
，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，由h′（x）＞0得x＞1，
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當x=1時h（x）取得最小值h（1）=4，
又a≤2lnx+x+
3
x
在區(qū)間（0，+∞）上恒成立等價于a≤hmin（x），
所以a≤4．故a的取值范圍為：（-∞，4]．
故選B．
點評：本題是新定義題，考查函數(shù)恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，對于函數(shù)f（x）=x3（x＞0）上任意兩點A（a，a3），B（b，b3）線段AB在弧線段AB的上方，
AC
=
CB
，則由圖中點C在C’上方可得不等式
a3+b3
2
＞(
a+b
2
)3，請分析函數(shù)y=lgx（x＞0）的圖象，類比上述不等式可以得到的不等式是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個判斷：
①定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時f（x）=x2+2，則函數(shù)f（x）的值域為{y|y≥2或y≤-2}；
②若不等式x3+x2+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a＜-12}；
③當f（x）=log3x時，對于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
④設g（x）表示不超過t＞0的最大整數(shù)，如：[2]=2，[1.25]=1，對于給定的n∈N+，定義
C
x
n
=
n(n-1)…(n-[x]+1)
x(x-1)…(x-[x]+1)
，x∈[1，+∞），則當x∈[
3
2
，2）時函數(shù)
C
x
8
的值域是(4，
16
3
]；
上述判斷中正確的結(jié)論的序號是
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義Mxn=x（x+1）（x+2）…（x+n-1）（x∈R，n∈N*），如M-44=（-4）×（-3）×（×2）×（-1）=24．對于函數(shù)f（x）=Mx-13，給出下列四個命題：
①f （x）的最大值為
2
3
9
；②f （x）為奇函數(shù)；③f（x）的圖象不具備對稱性；④f （x）在(-
3
3
，
3
3
)上是減函數(shù)，
真命題是
②④
②④
（填命題序號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，對于函數(shù)f（x）=x2（x＞0）的圖象上不同兩點A（a，a2）、B（b，b2），直線段AB
必在弧線段AB的上方，設點C分
AB
的比為λ（λ＞0），則由圖象中點C在點C'上方可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2．請分析函數(shù)y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是
lna+λlnb
1+λ
＜ln
a+λb
1+λ
lna+λlnb
1+λ
＜ln
a+λb
1+λ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列4個命題：
①已知函數(shù)y=2sin（x+?）（0＜?＜π）的圖象如圖所示，則φ=
π
6
或
5
6
π；
②在△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要條件；
③定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于點(
1
2
，0)對稱；
④對于函數(shù)f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0，f（b）＞0，則f（x）在（a，b）內(nèi)至多有一個零點；其中正確命題序號
②
②
．

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