是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1×22+2×32+3×42+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對(duì)一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

   

思路分析：數(shù)列求和在數(shù)列中占有重要的位置，有關(guān)存在性、探索性的問題是檢驗(yàn)學(xué)生能力的關(guān)鍵所在．

    解：∵n(n+1)2=n3+2n2+n，

    ∴Sn=1×22+2×32+3×42+…+n(n+1)2

    =(13+2×12+1)+(23+2×22+2)+…+(n3+2×n2+n)

    =(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)．

    由于下列等式對(duì)正整數(shù)n都成立，

    13+23+…+n3=，

    12+22+…+n2= ，

    1+2+…+n= ．

    由此可知Sn=(3n2+11n+10)．

    綜上所述，當(dāng)a=3，b=11，c=10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

是否存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對(duì)于任意的n∈N+總成立？若存在，求出來并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx，x∈[0，
π
2
]．
（1）求函數(shù)f（x）的最值，及相應(yīng)的x值；
（2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常數(shù)a，b∈Z，使得g（x）的值域?yàn)閇-2，4]？若存在，求出相應(yīng)a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，b，使得對(duì)于一切正整數(shù)n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出常數(shù)a和b，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{xn}和等比數(shù)列{yn}中，x1=y1=1，x2=y2，x6=y3．是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)于一切正整數(shù)n，都有xn=logayn+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2（
n+1n
）2an
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常數(shù)A、B、C，使對(duì)一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常數(shù)A、B、C的值，若不存在，說明理由
（3）求證：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）

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