Question

12．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)₂為右焦點(diǎn)，若△PQF₂為等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），根據(jù)已知條件容易判斷|PQ|與2c的關(guān)系，列出方程即可求出離心率．

解答 解：如圖，設(shè)F₁（-c，0），△PQF₂為等邊三角形，可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2^{2}}{a}$=2c，
∴2ca=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²），可得2e=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}{e}^{2}$，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴該橢圓離心率為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓上的點(diǎn)和橢圓幾何量的關(guān)系，橢圓的離心率及計(jì)算公式的應(yīng)用．