Question

已知函數(shù)y=

x3

3

+

ax2+(a+b)x+1

2

的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），記分別以a，b為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，可得方程x²+mx+

1

2

（m+n）=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域?yàn)镈，進(jìn)而利用函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得y'=x²+mx+

1

2

（m+n），
依題意知，方程y'=0有兩個(gè)根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+

1

2

（m+n），
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

即

m+n＞0 2+3m+n＜0

，
∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
∴要使函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則必須滿足1＜log_a（-1+3）
∴l(xiāng)og_a2＜1，解得a＜2
又∵a＞1，
∴1＜a＜2，
故答案為（1，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．