已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．
（1）設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α，二面角A-B1D1-A1的大小為β．求證：tanβ=
2
tanα；
（2）若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為
4
3
，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
精英家教網(wǎng)
（1）由題意畫出圖形為：

精英家教網(wǎng)

∵ABCD-A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，
∴底面為正方形且邊長(zhǎng)為1，又因?yàn)锳B1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α，∴∠AB1A1=α  ，tanα=
AA1
A1B1
，
又因?yàn)槎娼茿-B1D1-A1的大小為β，且底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，∴∠AO1A1=β，∴
2
tanβ=
AA1
A1O1
 
而底面A1B1C1D1為邊長(zhǎng)為1的正方形，∴A1B1= 
2
A1O1，∴tanβ=
2
tanα．
（2）∵O1為B1D1的中點(diǎn)，而△AB1D1是以B1D1為底邊的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1
且交線為AO1，∴點(diǎn)C到平面AB1D1的投影點(diǎn)必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到
A1O1
AA1
=
AH
CH
，而AH=
AC2-CH2
=
2-(
4
3
)2
，∴
A1O1
AA1
=
AH
CH
?
2
2
AA1
=
2
3
4
3
?AA1=2，
故正四棱錐的高為AA1=2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，
（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的體積；
（2）求A1B和B1C所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，E為C1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)F為A1D的中點(diǎn)．
（1）求證：A1B⊥平面AB1D；
（2）求證：平面A1B1CD⊥平面AFC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，①(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
)2=3(
A1B1
)2；②
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0；③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|
AB
•
AA1
•
AD
|．其中正確的命題是
①②
①②
（寫出所有正確命題編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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