Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）•e^x，當x=0時f（x）取到極大值，x=x₁時f（x）取到極小值，且x∈R時f（x）＞0恒成立．
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)A（0，f（0）），B（x₁，f（x₁）），，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù)，利用導數(shù)為0處取極值，可得a，b的關(guān)系，利用x∈R時f（x）＞0恒成立，從而可求a的取值范圍；
（2）先求的坐標，從而可求數(shù)量積，利用（1）a的取值范圍，可知 在（-4，-2）上單調(diào)遞減，從而可證．
解答：解：（1）由題意，f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]•e^x
∵當x=0時f（x）取到極大值，
∴f′（0）=a+b=0，∴x₁=-a-2
∴-a-2＞0，∴a＜-2
∵x∈R時f（x）＞0恒成立
∴x²+ax+b＞0，x∈R時，恒成立
∴△=a²-4b=a²+4a＜0
∴-4＜a＜0
∴-4＜a＜-2；
（2）A（0，-a），B（-a-2，（a+4）e^-2-a），∴
∵
∴g（a）=，g（a）在（-4，-2）上單調(diào)遞減，
∴0＜g（a）＜6．
∴．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，有一定的綜合性，注意導數(shù)為0處函數(shù)取極值．