Question

已知函數(shù)f（x）=x-4

x

+4（x≥4）的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n=

an

•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=x-4

x

+4（x≥4）的反函數(shù)，把a_n+1=f^-1（a_n）代入，整理后即可證明數(shù)列{

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）由數(shù)列{

an

}為等差數(shù)列求出數(shù)列{

an

}通項公式，進一步得到數(shù)列{a_n}的通項公式，再由數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，求出{b_n}的通項公式，代入c_n=

an

•b_n后化簡，然后利用分組求和和錯位相減法求和可得數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答：（Ⅰ）證明：∵函數(shù)f（x）=x-4

x

+4（x≥4），即y=x-4

x

+4（x≥4），
∴x=

y

+2（y≥0），∴f-1(x)=(

x

+2)2 （x≥2），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，
即

an+1

-

an

=2 （n∈N^*）．
∴數(shù)列{

an

}是以

a1

=1為首項，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：

an

=1+2(n-1)=2n-1，
即an=(2n-1)2 （n∈N^*）．
由b₁=1，當(dāng)n≥2時，bn-bn-1=1×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1
=

1×(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
因而bn=

3

2

(1-

1

3n

) （n∈N^*）．
由c_n=

an

•b_n，得：cn=

(2n-1)2

•

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

(2n-1)(1-

1

3n

)，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

3

2

(1-

1

3

)+

3

2

(3-

3

32

)+

3

2

(5-

5

33

)+…+

3

2

(2n-1-

2n-1

3n

)
=

3

2

[(1+3+5+…+2n-1)-(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)]．
令Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

   ①
則

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

  ②
①-②得，

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2× 1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

．
∴Tn=1-

n+1

3n

．
又1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴Sn=

3

2

(n2-1+

n+1

3n

)．

點評：本題考查了由遞推式確定數(shù)列是等差數(shù)列，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的求法，考查了利用分組法和錯位相減法求數(shù)列的前n項和，求一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積數(shù)列的前n項和，一般都用錯位相減法，此題是中檔題．