已知數(shù)列{an}滿足a1=1，  a2=
1
2
，  an-1an+anan+1=2an-1an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn=1-
1
2n
，試求數(shù)列{
bn
an
}的前n項和Tn；
（Ⅲ）記數(shù)列{1-
a2n
}的前n項積為∏limit
sni=2
(1-
a2i
)，試證明：
1
2
＜∏limit
sni=2
(1-
a2i
)＜1．
（Ⅰ）由an-1an+anan+1=2an-1an+1?an(an-1+an+1)=2an-1an+1?
an-1+an+1
an-1an+1
=
2
an

?
1
an+1
+
1
an-1
=
2
an
?
1
an+1
-
1
an
=
1
an
-
1
an-1
．
而a1=1且
1
a2
-
1
a1
=2-1=1，
因此{
1
an
}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
從而
1
an
=1+1×(n-1)=n?an=
1
n
．
（Ⅱ）當(dāng)n=1時，b1=S1=1-
1
2
=
1
2
．
當(dāng)n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(1-
1
2n
)-(1-
1
2n-1
)=
1
2n
．
而b1也符合上式，故bn=
1
2n
，從而：
bn
an
=
n
2n
．
所以Tn=
1
21
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
?
1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
．
將上面兩式相減，可得：
1
2
Tn=
1
21
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
?Tn=2-
n+2
2n
．
（Ⅲ）因為1-
a2n
=1-(
1
n
)2=(1+
1
n
)(1-
1
n
)=
n+1
n
•
n-1
n
．
故∏limit
sni=2
(1-
a2i
)=(
3
2
•
1
2
)•(
4
3
•
2
3
)•(
5
4
•
3
4
)•…•(
n+1
n
•
n-1
n
)=(
3
2
•
4
3
•
5
4
•…•
n+1
n
)•(
1
2
•
2
3
•
3
4
•…•
n-1
n
)
n+1
2
•
1
n
=
1
2
(1+
1
n
)．
由于n≥2，n∈N*，故0＜
1
n
≤
1
2
，從而
1
2
＜
1
2
(1+
1
n
)≤
3
4
＜1，即
1
2
＜∏limit
sni=2
(1-
a2i
)＜1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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