Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），M，N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PN交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PN的斜率的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知e=

c

a

=

3

2

，所以a²=4b²，由此可知橢圓C的方程為C：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k（x-4）．由題設(shè)得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．由此入手可知直線PN的斜率的取值范圍是：(-

3

6

，0)∪(0，

3

6

)．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．直線ME的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

．由此入手可知直線ME與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）由題意知e=

c

a

=

3

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，∴a=2b
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">b=

2

1+1

=1，∴a=2，故橢圓C的方程為C：

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 +y2=1.

得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．①（6分）
由△=（-32k²）²-4（4k²+1）（64k²-4）＞0，得12k²-1＜0，∴-

3

6

＜k＜

3

6

（8分）
又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是：(-

3

6

，0)∪(0，

3

6

)．（9分）
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．
直線ME的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

．（11分）
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x1+x2=

32k2

4k2+1

，x1x2=

64k2-4

4k2+1

代入②整理，得x=1．（13分）
所以直線ME與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．