對于一般的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定義:設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的導(dǎo)數(shù).若f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”,現(xiàn)已知:g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),請解答下列問題:
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函數(shù),求證a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的條件下,求函數(shù)y=g(x)的“拐點”A的坐標,并證明函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于“拐點”A成中心對稱.
分析:(I)先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)y=g(x)是R上的增函數(shù)得g'(x)≥0在R上恒成立,再根據(jù)二次函數(shù)恒大于等于零建立不等關(guān)系可求出a、b、c的關(guān)系;
(II)先求出函數(shù)g(x)的二階導(dǎo)數(shù),令g''(x)=0,求出拐點A的坐標,設(shè)函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點(x,y)則關(guān)于(a,0)的對稱點為(2a-x,-y),證明點(2a-x,-y)也在函數(shù)y=g(x)圖象上,從而證得結(jié)論.
解答:解:(I)∵g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),
∴g'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,
∵y=g(x)是R上的增函數(shù),
∴g'(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0
則2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0
∴a=b=c;
(II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3
g'(x)=3(x-a)2,g''(x)=6(x-a)=0
解得x=a
∴函數(shù)y=g(x)的“拐點”A的坐標為(a,0)
設(shè)函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點(x,y)則關(guān)于(a,0)的對稱點為(2a-x,-y)
根據(jù)g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知點(2a-x,-y)也在函數(shù)y=g(x)圖象上
∴函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于“拐點”A(a,0)成中心對稱.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問題的應(yīng)用,同時考查了圖形的對稱問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省高考真題 題型:解答題

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C,
(ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ⅱ)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2,則為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ⅱ)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

對于一般的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定義:設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的導(dǎo)數(shù).若f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”,現(xiàn)已知:g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),請解答下列問題:
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函數(shù),求證a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的條件下,求函數(shù)y=g(x)的“拐點”A的坐標,并證明函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于“拐點”A成中心對稱.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年新課標高三(上)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習單元驗收2(文科)(解析版) 題型:解答題

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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