Question

下列說法：
①函數(shù)f（x）=lnx+3x-6的零點(diǎn)只有1個(gè)且屬于區(qū)間（1，2）；
②若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
④函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，

π

4

]的最小值是1．
正確的有

 

．（請將你認(rèn)為正確的說法的序號都寫上）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)判定定理，判斷①是否正確；
根據(jù)不等式恒成立的條件，判斷②是否正確；
利用三角函數(shù)線與角的弧度數(shù)的大小，判斷③是否正確；
用換元法求得三角函數(shù)的最小值，來判斷④是否正確．

解答：解：對①，f（1）=-3，f（2）=ln2＞0，∵f（-1）×f（2）＜0，且f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，∴函數(shù)在（1，2）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．故①正確；
對②關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或

a＞0 △＜0

⇒0≤a＜1．故②不正確；
對③根據(jù)正弦線|sinx|≤|x|當(dāng)且僅當(dāng)x=0取“=”，∴只有一個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；
對④設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∴t∈[1，

2

]，y=

t2-1

2

+t=

1

2

（t+1）²-1，∴函數(shù)的最小值是1．故④正確．
故答案是①④

點(diǎn)評：本題借助考查命題的真假判斷，考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、三角函數(shù)求最值等問題．