Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x∈R，導(dǎo)函數(shù)f′（x）都存在，且滿(mǎn)足

1-x

f′(x)

≤0，則必有（　�。�

A、f（0）+f（2）＞2f（1）

B、f（0）+f（2）≤2f（1）

C、f（0）+f（2）＜2f（1）

D、f（0）+f（2）≥2f（1）

Answer 1

分析：先根據(jù)

1-x

f′(x)

≤0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在x=1處取最小值f（1），則f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），根據(jù)同向不等式相加可得結(jié)論．

解答：解：∵

1-x

f′(x)

≤0，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
即函數(shù)f（x）在x=1處取最小值f（1），
∴f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），
則將兩式相加得f（0）+f（2）＞2f（1）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件合理的構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行解題．屬于中檔題．