Question

15．如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=6，AB=20，求三棱錐D-BCM的體積．

Answer 1

分析 （1）證明MD⊥PB，AP⊥PB，可證得AP⊥平面PBC，推出AP⊥BC，AC⊥BC，即可證明BC⊥平面APC．
（2）說明MD是三棱錐D-BCM的高，求出三角形BCD的面積，然后求解三棱錐D-BCM的體積．

解答 解：（1）由△PMB為正三角形得MD⊥PB，由M為AB的中點(diǎn)，
得MD∥AP，所以AP⊥PB，可證得AP⊥平面PBC，
所以AP⊥BC，又AC⊥BC，所以得BC⊥平面APC．

（2）由題意可知，MD⊥平面PBC，∴MD是三棱錐D-BCM的高，$BM=\frac{1}{2}AB=10，DM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BM=5\sqrt{3}，BD=\frac{1}{2}PB=5$，
在直角三角形ABC中，M為斜邊AB的中點(diǎn)，$CM=\frac{1}{2}AB=10$，
在直角三角形CDM中，$CD=\sqrt{C{M^2}-D{M^2}}=5$，
∴三角形BCD為等腰三角形，底邊BC上的高為4，${V_{M-DBC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×4×5\sqrt{3}=20\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．