Question

正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為45°，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是

 

．

Answer 1

分析：在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．設(shè)P在底面ABC上的射影為O，則PO=2，且O是三角形ABC的中心，設(shè)底面邊長為a，

2

3

•

3

2

a=2∴a=2

3

設(shè)側(cè)棱為b，則b=2

2

斜高h′=

5

．由面積法求A到側(cè)面PBC的距離h=

3 2 •2 3 •2

5

=

6 5

5

．

解答：解：如圖所示：設(shè)P在底面ABC上的射影為O，
則PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，
∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0
∴BC⊥平面APM
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面APM，
又∵平面ABC∩平面APM=PM，
∴A到側(cè)面PBC的距離即為△APM的高
設(shè)底面邊長為a，
則

2

3

•

3

2

a=2∴a=2

3

設(shè)側(cè)棱為b，則b=2

2

斜高h′=

5

．
由面積法求A到側(cè)面PBC的距離h=

3 2 •2 3 •2

5

=

6 5

5

故答案為：

6 5

5

點(diǎn)評：本小題主要考查棱錐，線面關(guān)系、直線與平面所成的角、點(diǎn)到面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．