Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²-ax，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a最大時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x³+2x²-3x=x（x+3）（x-1），關(guān)于x的方程f（x）=k|x|為x（x+3）（x-1）=k|x|，易知其中一個(gè)根必然是x=0，所以當(dāng)x=0時(shí)方程有一個(gè)根，要使關(guān)于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個(gè)不同的根，只需要y=

(x+3)(x-1)，(x＞0) -(x+3)(x-1)，(x＜0)

與y=k有一個(gè)交點(diǎn)，故可求k的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，
即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，
∴△=4+4a-16≤0
∴a≤3．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x³+2x²-3x=x（x+3）（x-1），關(guān)于x的方程f（x）=k|x|為x（x+3）（x-1）=k|x|
易知其中一個(gè)根必然是x=0，所以當(dāng)x=0時(shí)方程有一個(gè)根．
要使關(guān)于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個(gè)不同的根，只需要y=

(x+3)(x-1)，(x＞0) -(x+3)(x-1)，(x＜0)

與y=k有一個(gè)交點(diǎn)
由圖可得k的取值范圍為k＞4，或k＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查方程根的討論，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．