Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（Ⅰ）求證：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證A₁O∥平面AB₁C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁O與平面AB₁C內(nèi)一直線平行，連接CO、A₁O、AC、AB₁，利用平行四邊形可證A₁O∥B₁C，又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知D₁O⊥底面ABCD，以O(shè)為原點，OC、OD、OD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，求出平面C₁CDD₁的一個法向量

m

=(x，y，z)，以及平面AC₁D₁的一個法向量

n

=(x1，y1，z1)，然后求出兩個法向量夾角的余弦值即可求出銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖（1），
連接CO、A₁O、AC、AB₁，（1分）
則四邊形ABCO為正方形，所以O(shè)C=AB=A₁B₁，
所以，四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，（3分）
所以A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C
所以A₁O∥平面AB₁C（6分）
（Ⅱ）因為D₁A=D₁D，O為AD中點，所以D₁O⊥AD
又側(cè)面A₁ADD₁⊥底面ABCD，
所以D₁O⊥底面ABCD，（7分）
以O(shè)為原點，OC、OD、OD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖（2）所示的坐標系，則C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0）．（8分）所以

DC

=(1，-1，0)，

DD1

=(0，-1，1)，

D1A

=(0，-1，-1)，

D1C1

=

DC

=(1，-1，0)，（9分）
設(shè)

m

=(x，y，z)為平面C₁CDD₁的一個法向量，
由

m

⊥

DC

，

m

⊥

DD1

，得

x-y=0 -y+z=0

，
令z=1，則y=1，x=1，∴

m

=(1，1，1)．（10分）
又設(shè)

n

=(x1，y1，z1)為平面AC₁D₁的一個法向量，
由

n

⊥

D1A

，

n

⊥

D1C1

，得

-y1-z1=0 x1-y1=0

，
令z₁=1，則y₁=-1，x₁=-1，∴

n

=(-1，-1，1)，（11分）
則cos＜

m

，

n

＞=

-1-1+1

3 • 3

=-

1

3

，
故所求銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值為

1

3

（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角等有關(guān)知識，同時考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．