Question

7．在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）如果P為線段VC的中點(diǎn)，求證：VA∥平面PBD；
（Ⅱ）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求A到平面VBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，則OP∥PA，由此能證明VA∥平面PBD．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連結(jié)VE，EF，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，EV為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能出點(diǎn)A到平面VBD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵P為線段VC的中點(diǎn)，∴OP∥PA，
∵OP?平面PBD，VA?平面PBD，
∴VA∥平面PBD．
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，
連結(jié)VE，EF，
∵四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
側(cè)面VAD是正三角形，
平面VAD⊥底面ABCD，
正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，EV為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
V（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{VA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{VB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{VD}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面VBD有法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{VB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{VD}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，3，$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)A到平面VBD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{VA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．