Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：PA⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明：連接AC，則F是AC的中點，E為PC 的中點，證明EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；
（2）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD．
解答：解：（1）證明：連接AC，則F是AC的中點，E為PC 的中點，
所以在△CPA中，EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，
又PA=PD=，所以△PAD是等腰三角形，
且，即PA⊥PD．
又CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應用，考查邏輯推理能力．