Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)引一條直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)
（1）求y₁y₂的值
（2）若直線被拋物線截得的弦長被焦點(diǎn)分成2：1兩部分，求這條直線方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=4x，可得p，進(jìn)而得焦點(diǎn)F（1，0）．由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系．
（2）利用

AF

=2

FB

，可得-y₁=2y₂．再利用根與系數(shù)的關(guān)系y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．聯(lián)立解得m即可．

解答：解：（1）∵拋物線y²=4x，∴

p

2

=

4

4

=1，得焦點(diǎn)F（1，0）．
由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，
化為y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4．
（2）∵

AF

=2

FB

，∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），∴-y₁=2y₂．
又y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
聯(lián)立解得m=±

2

4

．
∴直線l的方程為：±

2

4

y=x-1．

點(diǎn)評：熟練掌握拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等是解題的關(guān)鍵．