Question

已知數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若點(diǎn)P_n（x_n，S_n）（n=1，2，…）都在斜率為k的同一條直線上（常數(shù)k≠0，1）
（1）求證：{x_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{x_n}的公比為f（k），b_n=-f（b_n-1），b₁=-1，C_n=b_nb_n+1，求C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n著手考慮，把點(diǎn)P_n、P_n+1的坐標(biāo)代入直線y=kx+b，然后兩式相減得x_n+1與x_n的關(guān)系式，最后整理為等比數(shù)列的形式即可．
（2）根據(jù)數(shù)列{x_n}的公比為f（k），則f(k)=

k

k-1

，然后求出b_n的通項(xiàng)公式和c_n的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)求和法求出所求．

解答：解：（1）∵

Sn+1-Sn

xn+1-xn

=

xn+1

xn+1-xn

=k，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

∴{x_n}成G．P；
（2）∵f(k)=

k

k-1

，∴bn=-

bn-1

bn-1-1

從而b_nb_n-1=b_n-b_n-1，即

1

bn

-

1

bn-1

=-1(n≥2)∴bn=-

1

n

，∴Cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，∴∑Ck=1-

1

n+1

=

n

n+1

點(diǎn)評：a_n+1=S_n+1-S_n是實(shí)現(xiàn)數(shù)列{a_n}，由其前n項(xiàng)和S_n向a_n轉(zhuǎn)化的重要橋梁；要熟悉等差數(shù)列的解析式形式：a_n=An+B即一次函數(shù)型，等比數(shù)列的解析式形式為：a_n=Aqⁿ指數(shù)型函數(shù)．