Question

15．若實(shí)數(shù)x，y滿足x-4$\sqrt{y}$=2$\sqrt{x-y}$，則x的取值范圍是[4，20]∪{0}．

Answer 1

分析 本題可以采用代數(shù)法和幾何法，通過(guò)換元，數(shù)形結(jié)合，分類討論求解變量x的取值范圍．

解答 解：方法一：【幾何法】
當(dāng)x=0時(shí)，解得y=0，符合題意，當(dāng)x＞0時(shí)，解答如下：
令t=$\sqrt{y}$∈（0，$\sqrt{x}$]，原方程可化為：-2t+$\frac{x}{2}$=$\sqrt{x-t^2}$，
記函數(shù)f（t）=-2t+$\frac{x}{2}$，g（t）=$\sqrt{x-t^2}$，t∈（0，$\sqrt{x}$]，
這兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于t的函數(shù)，其中x為參數(shù)，
f（t）的圖象為直線，且斜率為定值-2，
g（t）的圖象為四分之一圓，半徑為為$\sqrt{x}$，
問(wèn)題等價(jià)為，在第一象限f（t），g（t）兩圖象有公共點(diǎn)，
①當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由d=r解得x=20，
②當(dāng)直線過(guò)的點(diǎn)A（0，$\frac{x}{2}$）在圓上的點(diǎn)（0，$\sqrt{x}$）處時(shí)，
即$\sqrt{x}$=$\frac{x}{2}$，解得x=4，
因此，要使直線與圓有公共點(diǎn)，x∈[4，20]，
綜合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．
方法二：【代數(shù)法】
令t=$\sqrt{y}$∈（0，$\sqrt{x}$]，原方程可化為：x-4t=2$\sqrt{x-t^2}$，
因?yàn)閤-y=x-t²≥0，所以x≥t²≥0，
兩邊平方并整理得，20t²-8xt+x²-4x=0（*），
這是一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，則方程（*）有兩個(gè)非負(fù)數(shù)跟，
$\left\{\begin{array}{l}{△=64x^2-80（x^2-4x）≥0}\\{{t}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{20}（x^2-4x）≥0}\end{array}\right.$，解得，x∈[4，20]∪{0}．
故答案為：[4，20]∪{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)換，一元二次方程實(shí)根的判斷，考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于難題．