Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3ax+1．
（Ⅰ）若一條直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（1，3），求這條直線的方程；
（Ⅱ）若該函數(shù)在x=2處取到極值，試判斷方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（II）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在x=2處取到極值求得a值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程f（x）=0有3個(gè)不同實(shí)根．

解答：解：（Ⅰ）將點(diǎn)（1，3）代入f（x）=x³+3ax²+3ax+1，得a=

1

6

．…（2分）
于是f（x）=x³+

1

2

x²+

1

2

x+1．
∴f′（x）=3x²+x+

1

2

．
由題意知該直線的斜率為k=f′（1）=

9

2

．…（4分）
∴所求直線方程為y-3=

9

2

（x-1），即9x-2y-3=0．…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+6ax+3a．
由f′（2）=0，得a=-

4

5

．…（8分）
此時(shí)f′（x）=3x²-

24

5

x-

12

5

．
由f′（x）=3x²-

24

5

x-

12

5

＞0，解得x＜-

2

5

或x＞2．
∴f（x）最大f（-

2

5

）＞0，f（x）最小=f（2）＜0．
所以曲線y=f（x）與x軸有3個(gè)交點(diǎn)．，即方程f（x）=0有3個(gè)實(shí)根．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中檔題．