Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意正整數(shù)n，都有a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)．
（1）求證：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，以及a_n=s_n-s_n-1，推出a_n=2a_n-1+1（n≥2）即可；
（2）利用（1）直接推出數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（3）利用（2）求出通項(xiàng)公式，然后通過拆項(xiàng)法求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
解答：（1）證明：∵a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，
∴2a_n=n+S_n①
于是2a_n-1=n-1+S_n-1（n≥2）②
①-②得2a_n-2a_n-1=1+a_n
∴a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=2a_n-1+1得 a_n+1=2（a_n-1+1）
∴
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=1+S₁即 2a₁=1+a₁
∴a₁=1，a₁+1=2
所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（3）解：∵a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力．