Question

設(shè)k∈R，k≠0，函數(shù)f（x）=，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
（I）試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)0＜k＜，求證：F（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．

Answer 1

【答案】分析：（I）已知中函數(shù)f（x）的解析式，可求出F（x）=f（x）-kx的解析式，進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，分別討論當(dāng)x≥2，方程=0的解，也當(dāng)x＜2時(shí)，方程=0的解，進(jìn)而可對(duì)k進(jìn)行分類討論得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）由（I）中結(jié)論，可得當(dāng)0＜k＜時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，及對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)，分別判斷極大值與極小值的符號(hào)，進(jìn)而可判斷出F（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
∴F（x）=
∴F′（x）=       …（2分）
∴當(dāng)x≥2，方程=0在k＜0或k≥1時(shí)，無(wú)解，在0＜k＜1時(shí)為x=+1，
當(dāng)x＜2時(shí)，方程=0在k≥0時(shí)，無(wú)解，在k＜0時(shí)為x=2-．
∴當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)F（x）在（-∞，2）上遞減，在（2，+1）上遞增，在（+1，+∞）上遞減；
當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)F（x）在（-∞，2-）上遞增，在（2-，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增． …（7分）
證明（Ⅱ）∵0＜k＜，由（Ⅰ）可知，F(xiàn)（x）的取值隨著x的變化如下：

∴當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)（x）極小值為-2k，
當(dāng)x=+1，F(xiàn)（x）極大值為ln-k-1，…（10分）
∵0＜k＜，
∴l(xiāng)n-k-1＞--1=-＞0，
∴F（x）極小值-2k＜0，F(xiàn)（x）極大值為ln-k-1＞0，
因此，0＜k＜時(shí)，方程F（x）=0一定有三個(gè)不同的實(shí)根．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，分段函數(shù)的解析式求法，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出函數(shù)F（x）的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．