已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－3，0)，一條漸近線的方程是．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得

　　　　解得

　　所以雙曲線的方程為．

　　(Ⅱ)解：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組

　　

　　將①式代入②式，得，整理得

　　．

　　此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且

　　．整理得

　　．　�、�

　　由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足

　　，．

　　從而線段的垂直平分線的方程為

　　．

　　此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得

　　．

　　整理得

　　，．

　　將上式代入③式得，

　　整理得

　　，．

　　解得或．

　　所以的取值范圍是

　　本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．滿分14分．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.

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