精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=
π2
,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,沿EF將梯形ABCD翻折,使AE⊥平面EBCF(如圖).設(shè)AE=x,四面體DFBC的體積記為f(x).
(1)寫出f(x)表達(dá)式,并求f(x)的最大值;
(2)當(dāng)x=2時(shí),求異面直線AB與DF所成角θ的余弦值.
分析:(1)過D作DH∥AE,則DG=AE,且DH⊥平面EBCF,由f(x)=VD-BFC =
1
3
×S△BFC×DH
 求出f(x)的解析式,
由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值.
(2)過A作AG∥DF,連BG,則∠BAG即為異面直線AB與DF所成的角,求出此角所在三角形的三邊長(zhǎng),余弦定理求得
θ的余弦值.
解答:解:(1)∵AE⊥平面EBCF,過D作DH∥AE,則DG=AE,且DH⊥平面EBCF精英家教網(wǎng),所以,
f(x)=VD-BFC =
1
3
×S△BFC×DH=
1
3
×
1
2
×4×(4-x)×x
 
=-
2
3
(x-2)2+
8
3
8
3
,
即x=2時(shí),f(x)有最大值為
8
3

(2)過A作AG∥DF,連BG,則∠BAG即為異面直線AB與DF所成的角精英家教網(wǎng)
由x=2知EG=1,在△AEG中,AG2=22+12=5
在△BEG中,BG2=22+12=5,在△AEB中,AB2=22+22=8,
∴由余弦定理可得 cosθ=
8+5-5
8
×
5
=
10
5
點(diǎn)評(píng):本題考查求三棱錐的體積,求函數(shù)的最大值,求異面直線所成的角的余弦值,找出異面直線所成的角,是解題的
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,點(diǎn)E分有向線段
.
AC
所成的比為λ,雙曲線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn),當(dāng)
2
3
≤λ≤
3
4
時(shí),求雙曲線離心率c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=
π2
,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE=x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).
(1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;
(3)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=
π2
,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE=x.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖).G是BC的中點(diǎn),以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x).
(1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG;
(2)求f(x)的最大值;
(3)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),求異面直線AE與BD所成的角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內(nèi),過C作l⊥CB,以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積.

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